Bài 3 trang 82 SGK Đại số 11

Trung bình: 4,11
Đánh giá: 18
Bạn đánh giá: Chưa

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n+ 1; b) 2n+1 > 2n+ 3.

 


a) 3n> 3n+ 1 (1)

+ Với n= 2 thì (1)  9 > 7. Vậy (1)  đúng khi n= 2.

+ Giả thiết mệnh đề (1) đúng khi n=k ≥ 2, nghĩa là 3k > 3k+ 1.

+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n=k + 1nghĩa là chứng minh: 3k+1 = 3.3k > 3(3k+ 1) (theo giả thiết). Mặt khác 3(3k+ 1) = 9k+ 3 = 3(k+1) + 6k> 3(k+ 1) ( k> 2)

Vậy 3k+1 >3(k+ 1) + 1

Mệnh đề đúng với n=k + 1, do đó đúng với mọi n≥ 2.

b)  2n+1 > 2n+ 3

+ Với n= 2, ta : 23 = 8 > 2.2 + 3 = 7. Vậy mệnh đề đúng khi n= 2.

+ Giả thiết mệnh đề đúng khi n=k ≥ 2, nghĩa là  2k+1 > 2k+ 3 (2)

+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n=k + 1,nghĩa là chứng minh:2[(k+1)+1] > 2(k+ 1) + 3 hay 2k+2 > 2k+ 5

Nhân hai vế của (2) cho 2, ta được: 2k+1.2 = 2k+2 > 2(2k+ 3) = 4k+ 6 = 2k+ (2k+ 6) (3)Mà k≥ 22k+ 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5.

Vậy (3)2k+2 > 2k+ 5 (2)

Mệnh đề đúng với n=k + 1 nên cũng đúng n ∈*.