Bài 1 trang 82 SGK Đại số 11

Trung bình: 4,13
Đánh giá: 15
Bạn đánh giá: Chưa

Chứng minh rằng với n*, ta có các đẳng thức :

a) 2+5+8++3n1=n(3n+1)2;

b) 12+14+18+...+12n=2n-12n;

c) 12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6.


a) Với n=1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 13.1+12=2. Do đó hệ thức  đúng với n=1.

Đặt vế trái bằng  Sn.

Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n=k≥1, tức là 

Sk=2+5+8++3k1=k(3k+1)2

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n=k+1, nghĩa là phải chứng minh

Sk+1=2+5+8+.+3k1+(3(k+1)1)  =(k+1)(3(k+1)+1)2

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 

Sk+1=Sk+3k+2 = k(3k+1)2+3k+2                                 = 3k2+k+6k+42                                 =3(k2+2k+1)+k+12                                 =(k+1)(3(k+1)+1)2

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n*.

b) Với n=1, vế trái bằng 12, vế phải bằng 12, do đó hệ thức đúng với n=1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng với n=k≥1, tức là Sk=12+14+18+...+12k=2k-12k

Ta phải chứng minh Sk+1=2k+1-12k+1.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 

(12+14+18+...+12k)+12k+1=2k12k+12k+1                                                    =2(2k1)+12k+1                                                   =2k+112k+1

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n*

c) Với n=1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1)6=1 nên hệ thức c) đúng với n=1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức c) đúng với n=k≥1,tức là

Sk=12+22+32+...+k2=k(k+1)(2k+1)6

Ta phải chứng minh Sk+1=(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

12+22+32+...+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2                                                =k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26                                               =(k+1)(2k2+k+6k+6)6                                                =(k+1)(2k2+7k+6)6                                               =(k+1)(k+2)(2k+3)6

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  n*.