Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11

Trung bình: 4,13
Đánh giá: 15
Bạn đánh giá: Chưa

Chứng minh rằng với n*, ta có : 

a) n3 + 3n2 + 5n  chia hết cho 3 ;

b) 4n + 15n– 1 chia hết cho 9 ;

c) n3 + 11n  chia hết cho 6.


a)

Đặt An =n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có, với  n= 1 thì A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết cho 3.

+ Giả sử với  n=k ≥ 1 ta có: Ak = k3 + 3k2 + 5k chia hết cho 3 (giả thiết quy nạp).

+ Ta chứng minh  Ak + 1  chia hết cho 3

Thật vậy, ta có:

Ak+ 1 = (k+ 1)3 + 3(k+ 1)2 + 5(k+ 1)=k3 + 3k2 + 3k+ 1 + 3k2 + 6k+ 3 + 5k+ 5= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k+ 9

Theo giả thiết quy nạp  Ak chia hết 3, hơn nữa  9(k+ 1) chia hết 3 nên  An =n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi n*.

b) 4n + 15n– 1chia hết cho 9

Đặt An = 4n + 15n– 1

+ Với n= 1A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ Giả sử với  n=k ≥ 1 ta : Ak = 4k + 15k– 1 chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: Ak+1  chia hết 9. Thật vậy, ta có: Ak+1 = (4k+1 + 15(k+ 1) – 1) = 4k.41 + 15k+ 15 – 1= (4k + 15k– 1) + (3.4k + 15) =Ak + 3(4k + 5)

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 9, hơn nữa: 3(4k + 5)=3(4k+15k-1+6-15k) =3(Ak+6-15k)=3Ak+9(2-5k)  chia hết 9  nên  Ak+1  chia hết 9.

Vậy  An = 4n + 15n– 1 chia hết cho 9 , n*.

c) n3 + 11n  chia hết cho 6.

Đặt Un =n3 + 11n

+ Với n= 1U1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử với n=k ≥ 1 ta có: Uk =k3 + 11k chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: Uk+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

 Uk+1 = (k+ 1)3 + 11(k+1)         =k3 + 3k2 + 3k+ 1 + 11k+ 11         = (k3 + 11k) + 3k2 + 3k+ 12         =Uk + 3(k2 +k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì:

Uk  chia hết 6, hơn nữa 3k2 +k+ 4=3kk+1+4  chia hết 6 ( 2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2). Do đó:  Uk+1 chia hết 6

Vậy: Un =n3 + 11n chia hết cho 6, n*.