Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12

Trung bình: 4,50
Đánh giá: 20
Bạn đánh giá: Chưa

Parabol y=x22 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 22 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.


+) Đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính 22 có phương trình:

C: x2+y2=8 y=±8-x2.

+) Tọa độ giao điểm của Parabol và đường tròn C là nghiệm của hệ:

y=x22x2+y2=8x2=2yy2+2y-8=0x2=4y=2x=±2y=2.

                       

+) Khi đó diện tích hình phẳng S1 giới hạn bởi parabol và đường tròn là:

S1=-228-x2-x22dx=-228-x2-x22dx=2028-x2-x22dx=2028-x2dx-x3302=2I-83.

+) Tính I=028-x2dx :

  • Đặt x=8sint, t-π2;π2dx=8costdt.

Đổi cận :

  •  x=0  ta có 8sint=0sint=0t=0.
  •  x=2  ta có 2=8sintsint=12t=π4.
  • Vậy I=0π48-8sin2t.22costdt=220π48cos2t.costdt=80π4cost.costdt=80π4cos2tdt=40π41+cos2tdt=4t+sin2t20π4=4π4+12=π+2.

+) Vậy S1=2I-83=2π+2-83=2π+43.

+) Mặt khác diện tích hình tròn là:

 S=πR2=π222=8πS2=S-S1=8π-2π-43=6π-43S1S2=2π+436π-43=3π+29π-2.