Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Trung bình: 4,69
Đánh giá: 13
Bạn đánh giá: Chưa

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt POM^=α, OM=R 0απ3, R>0. Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63).

a) Tính thể tích của V theo α và R.

b) Tìm α sao cho thể tích của V lớn nhất. 

Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12
Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

a) Tính thể tích của V:

+) V là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng OM,  Ox, MP.

+) Đường thẳng OM đi qua O0;0 và tạo với trục hoành một góc α(hệ số góc k=tanα) nên có phương trình: y=kxy=xtanα.

+) Mặt khác xP=OP=OM.cosα=Rcosα.

+) Khi đó thể tích của V là : V=πxOxPxtanα2dx=πtan2αx330Rcosα=πtan2αR3cos3α3=πR33sin2αcos2αcos3α=πR331-cos2αcosα.

b) Tìm α để V lớn nhất :

+) Đặt cosα=t, α0;π3 nên t12;1. Xét hàm số ft=πR33t-t3f't=πR331-3t2=0t=±33t=33 vì t12;1.

+) Do đó : f12=πR38, f33=23πR327, f1=0maxf12;1=23πR327.

+) Vậy V lớn nhất khi t=33 hay cosα=33α=arccos33.