Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau

Trung bình: 4,93
Đánh giá: 15
Bạn đánh giá: Chưa

a) tanx>x 0<x<π2; b) tanx>x+x33 0<x<π2.

 


Kiến thức:

Phương pháp: 

  • Nhận xét rằng các bất đẳng thức đã cho có dạng g(x)>h(x) 
  • Xét hàm số f(x)=g(x)-h(x) liên tục trên các khoảng đã cho.

Chú ý: 

  • f(x)  đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a)<f(x)<f(b), x(a;b).
  • f(x)  nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a)>f(x)>f(b), x(a;b).

a) tanx>x0<x<π2:

  • Xét hàm số f(x)=tanx-x, x(0;π2) ta có: f'(x)=tan2x>0,x(0;π2)

f(x) đồng biến trên (0;π2)f(x)>f(0) hay tanx-x>0tanx>x(đpcm).

b) tanx>x+x330<x<π2

Xét hàm số f(x)=tanx-x-x33, x0;π2 ta có: f'(x)=tan2x-x2

Theo câu a ta có tanx>xtan2x>x2, x0;π2f'(x)>0,x0;π2

f(x) đồng biến trên 0;π2f(x)>f(0)=0tanx>x+x33,x0;π2 (đpcm).