Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

a) $y=\frac{3x+1}{1-x}$

• Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$ 
• $y\text{'}=\frac{4}{{\left(1-x\right)}^2}>0, \forall x\ne 1.$
• Bảng biến thiên:
• Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng $\left(-\infty ;1\right) và \left(1;+\infty \right)$.

b) $y=\frac{x^2-2x}{1-x}$

• $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$
• $y\text{'}=\frac{(x^2-2x)\text{'}(1-x)-(1-x)\text{'}(x^2-2x)}{(1-x{)}^2}=\frac{-x^2+2x-2}{(1-x{)}^2}$
• $y\text{'}=0\iff \left\{\begin{array}{l}-x^2+2x-2=0\\ x\ne 1\end{array}\right.\iff vô nghiệm$
• Bảng biến thiên:
• Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng $(-\infty ;1),(1;+\infty )$

c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$

• Tập xác định: $D=(-\infty ;-4]\cup [5;+\infty )$, (vì $x^2-x-20\ge 0$).
• $y\text{'}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}}=0\iff x=\frac{1}{2}$
• $y\text{'}$ không xác định tại $x=-4;x=5$.
• Bảng biến thiên:
• Vậy hàm số nghịch biến trong  khoảng $(-\infty ;-4)$ và đồng biến trong khoảng $(5;+\infty ).$.

d) $y=\frac{2x}{x^2-9}$

• Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{\pm 3\right\}$, (vì $x^2-9\ne 0$).
• $y\text{'}=\frac{\left(2x\right)\text{'}(x^2-9)-(x^2-9)\text{'}.2x}{(x^2-9{)}^2}=\frac{-2(x^2+9)}{(x^2-9{)}^2}<0,\forall x\ne \pm 3.$
• $y\text{'}$không xác định tại $x=\pm 3$.
• Bảng biến thiên:
• Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng đó nên hàm số nghịch biến trong khoảng $(-\infty ;-3),(-3;3),(3;+\infty ).$