Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Trung bình: 4,43
Đánh giá: 14
Bạn đánh giá: Chưa

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A', B',C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

(a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương tứng thành A', B',C'

(b) Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.

(c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F

(d) Gọi A'', B'',C'' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1,C1 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A'1, B'1,C'1 tương ứng là chân các đường cao đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C,A1, B1,C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số 12.

(e) Chứng minh chín điểm A', B',C',A'', B'',C'',A'1, B'1,C'1 cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác ABC).


a) Ta có

GA =12GA;GB=12GB;GC=12GC.

Vậy phép vị tự tâm G tỉ số k=−12 biến A,B,C thành A′,B′,C′.

b) A′ là trung điểm của dây BC nên OA′⊥BC

Ta lại có BC//C′B′⇒OA′⊥B′C′

⇒ Trong tam giác A′B′C′ thì OA′ là đường cao kẻ từ đỉnh A′. Tương tự, OB′ là đường cáo kẻ từ B′, suy ra O là trực tâm của ∆A′B′C′.

H là trực tâm của ∆ABC và O là trực tâm của ∆A′B′C′ nên O là ảnh của HH trong phép vị tự tâm G, tỉ số k=−12GO=12GH

⇒ Ba điểm O,G,H thẳng hàng.

c) Gọi O′ là ảnh của O trong phép vị tự F(G;−12) ta có:

GO'=-12GOGO=-12GHOG=12GHGO+GO'=12GH-12GOOO'=12OH

Đẳng thức này chứng tỏ điểm O′ là trung điểm của đoạn thẳng OH.

d) Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:

HA''=12HAHB''=12HBHC''=12HC

Vậy A”,B”,C” là ảnh của các điểm A,B,C trong phép vị tự V(H;12).

Ta dễ dàng chứng minh được A1,B1,C1 theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng HA1,HB1,HC1 nên:

HA1'=12HA1HB1'=12HB1HC1'=12HC1

Như vậy A1,B1,C1 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1,B1,C1 trong phép vị tự V(H;12).

e) Gọi A2,B2,C2 theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm A,B,C qua tâm O của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác BHCA2 là hình bình hành, do đó H và A2 đối xứng qua A′, ta có:

HA'=12HA2HB'=12HB2HC'=12HC2

Như vậy, các điểm A′,B′,C′ theo thứ tự là ảnh của các điểm A2,B2,C2 trong phép vị tự V(H;12).

Từ đó ta có: 

Chín điểm A′,B′,C′,A”,B”,C”, A1′,B1′,C1′ theo thứ tự là ảnh của các điểm A,B,C,A1,B1,C1,A2,B2,C2 trong phép tự vị V(H;12) mà chín điểm A,B,C,A1,B1,C1,A2,B2,C2 nằm trên đường tròn (O) nên chín điểm A,B,C,A1,B1,C1,A2,B2,C2 nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn (O)(O) trong phép vị tự V(H;12)