Bài 2 trang 12 SGK Hình học 12

Trung bình: 4,46
Đánh giá: 28
Bạn đánh giá: Chưa

Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.


  • Xét khối đa diện H có n đỉnh là A1, A2, A3,..., An. Gọi m1, m2, m3,..., mn lần lượt là số các mặt của H nhận các đỉnh A1, A2, A3,..., An làm đỉnh chung (đỉnh A1 có m1 mặt chung...)
  • Nhận xét rằng ứng với mỗi đỉnh Ak của đa diện có mk mặt chung thì có mk cạnh chung đi qua đỉnh đó.
  • Vì mỗi cạnh của đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của đa diện H là : c=12m1+m2+m3+...+mn.
  • Vì c là số nguyên dương nên  m1+m2+m3+...+mn chia hết cho 2. Mặt khác theo bài ra m1, m2, m3,..., mn là các số lẻ nên n phải là số chẵn.
  • Ví dụ . Xét hình chóp ngũ giác có sáu đỉnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của số lẻ mặt.