Cách chứng minh tam giác vuông.

Trung bình: 5
Đánh giá: 1
Bạn đánh giá: Chưa
Trong phân môn hình học của chương trình toán THPT ta thường gặp một số dạng toán quen thuộc như chứng minh một tam giác nào đó là vuông ,cân hoặc đều. Chuyên đề này nhằm giải quyết khó khăn cho các em học sinh khi gặp phải bài toán chứng minh một tam giác vuông.

Tam giác vuông là gì ?

Tam giác vuông là một tam giác có một góc là góc vuông (góc 90 độ). Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông là nền tảng cơ bản của lượng giác học.

Một số cách chứng minh tam giác vuông thường gặp

Cho ABC có BC=a, AC=b, AB=c, BAC^=A^, ABC^=B^, BCA^=C^.

1. Chứng minh tam giác vuông bằng cách chỉ ra tam giác có một góc bằng 900.

Phương pháp :

  • Để chỉ ra tam giác có một góc bằng 900 ta cần biến đổi giả thiết về các dạng như cosA=0, sinA=1, sinB+C=1, cosB+C=0,sinA2=22,cosA2=22...từ đó suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Lưu ý : Các công thức lượng giác hay sử dụng là

  • Công thức cộng : 

sinacosb+cosasinb=sina+b

sinacosb-cosasinb=sina-b

cosacosb-sinasinb=cosa+b

cosacosb-sinasinb=cosa-b

  • Công thức nhân đôi, hạ bậc : 

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1         =1-2sin2a

cos2a=1+cos2a2sin2a=1-cos2a2
  • Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng: 

sina+sinb=2sina+b2cosa-b2

sina-sinb=2cosa+b2sina-b2

cosa+cosb=2cosa+b2cosa-b2

cosa-cosb=-2sina+b2sina-b2

sinacosb=12sina+b+sina-b

cosacosb=12cosa+b+cosa-b

sinasinb=12cosa-b-cosa+b

 

  • Các hệ thức lượng trong tam giác : 
                            Định lý côsin :                                    Định lý sin : 
a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=b2+a2-2bacosC asinA=bsinB=csinC=2R.

Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn thỏa cosB-C=2bca2. Chứng minh rằng ABC vuông.

Lời giải :  

Ta có cosB-C=2bca2cosB-C=2.2RsinB.2RsinC2RsinA2cosB-C.sin2A=2sinBsinCcosB-C.sin2A=cosB-C-cosB+CcosB-C.sin2A-cosB-C=-cosB+CcosB-Csin2A-1=cosA-cosB-C.cos2A=cosAcosA1+cosA.cosB-C=0  1

Vì tam giác ABC nhọn nên cosA>0,cos(B-C)>01+cosAcos(B-C)>0, do đó 1cosA=0A=900.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC thỏa asinBsinC=bcosB+ccosC.

Lời giải :  

Theo định lý sin ta có : asinA=bsinB=csinC=2R nên asinBsinC=bcosB+ccosC2RsinAsinBsinC=2RsinBcosB+2RsinCcosCsinAsinBsinC=sinBcosB+sinCcosCsinAsinBsinC=sinBcosC+cosBsinCcosBosCsinAsinBsinC=sinB+CcosBcosCsinAsinBsinC=sinAcosBcosC1sinBsinC=1cosBcosCcosBcosC=sinBsinCcosBcosC-sinBsinC=0cosB+C=0B+C=900A=900.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Chú ý : 

  • Nếu A^=B^+C^ hoặc B^+C^ =900 thì ABC vuông tại A.
  • Nếu B^=A^+C^ hoặc A^+C^ =900 thì ABC vuông tại B.
  • Nếu C^=B^+A^ hoặc B^+A^ =900 thì ABC  vuông tại C.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC thỏa mãn acosB-bcosA=asinA-bsinB và  A^B.^ Chứng minh tam giác ABC vuông.

Lời giải : 

Theo định lý sin ta có :  acosB-bcosA=asinA-bsinB2RsinAcosB-2RsinBcosA=2RsinA.sinA-2RsinB.sinB2sinAcosB-2cosAsinB=2sin2A-2sin2B2sinA-B=1-cos2A-(1-cos2B)2sinA-B=-cos2A+cos2B2sinA-B=-cos2A-cos2B2sinA-B=2sinA+BsinA-BsinA-B1-sinA+B=0  (1)

Vì AB nên sinA-B0,do đó 11-sinA+B=0sinA+B=1A+B=900.

Vậy tam giác ABCvuông tại C.

2. Chứng minh tam giác vuông bằng cách sử dụng định lý Pi-ta-go. 

Phương pháp : Vận dụng định lý pi-ta-go cho tam giác vuông bằng cách đưa giả thiết bài toán về một trong các trường hợp sau

  • Nếu a2=b2+c2 thì ABC  vuông tại A.
  • Nếu b2=a2+c2 thì ABC vuông tại B.
  • Nếu c2=a2+b2 thì ABC vuông tại C.

Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. ABC có tính chất gì nếu độ dài ba cạnh lần lượt là a=10,b=8,c=6.

Lời giải : 

Dễ nhận thấy rằng 102=82+62 hay a2=b2+c2. Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ 2. Cho ABC thỏa S=14b2sin2C, chứng minh rằng ABC vuông.

Lời giải : 

Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có S=12absinC nên S=14b2sin2C12absinC=14b2.2sinCcosCa=bcosCa=b.a2+b2-c22ab2a2=a2+b2-c2a2+c2=b2.

Vậy ABC vuông tại B.

Ví dụ 3 : Cho ABC thỏa cosA2=b+c2c , chứng minh rằng ABC vuông.

Lời giải : 

Ta có cosA2=b+c2ccos2A2=b+c2c1+cosA2=b+c2c1+b2+c2-a22bc=b+cc2bc+b2+c2-a2=2b2+2bcc2=a2+b2.

Vậy ABC vuông tại C.

3. Chứng minh tam giác vuông dựa vào tích vô hướng của hai vectơ.

Phương pháp :  

 ABC vuông tại A khi ABAC hay AB.AC=0. Như vậy ta có thể đưa bài toán chứng minh một tam giác vuông trở thành bài toán tính cá tích vô hướng. Ta có các trường hợp sau

  • Để chứng minh ABC vuông tại A ta có thể chứng minh AB.AC=0.
  • Để chứng minh ABC vuông tại B ta có thể chứng minh BA.BC=0.
  • Để chứng minh ABC vuông tại C ta có thể chứng minh CA.CB=0.

Chú ý : Các công thức hay sử dụng

  • a.b=ab.cosa,b (định nghĩa tích vô hướng)
  • a.b=a1b1+a2b2  vi a=a1;a2, b=b1;b2 (biểu thức tọa độ của tích vô hướng)
  • aba.b=0a1b1+a2b2=0.

Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD, M,N lần lượt là trung điểm AB,BC. Gọi I=ANDM. Chứng minh rằng IMN vuông.

Phân tích : Dự đoán rằng IMN  vuông tại I nên ta có thể chứng minh ANDM dựa vào định nghĩa tích vô hướng.

Lời giải : 

Để chứng minh tam giác IMN vuông ta có thể chứng minh ANDMAN.DM=0.

Thật vậy, ta có AN.DM=AB+BNDA+AM=AB.DA+AB.AM+BN.DA+BN.AM

Mặt khác :

  •  ABDA,AMBNAB.DA=0, AM.BN=0. 
  • AB.AM=AB.AM.cosBAM^=AB.12AB.cos00=AB22.
  • BN.DA=-BN.BC=-BN.BC.cos00=-12BC.BC=-BC22.

Vậy AN.DM=AB22-BC22=0ANDMIMN vuông tại I. 

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A1;3, B2;-1,C6;1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.

Phân tích : Dễ thấy rằng đây là dạng toán có gắn tọa độ nên ta chỉ việc áp dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng. 

Lời giải : 

Ta có  AB=2;-4, AC=6;-2, BC=4;2AB.BC=2.4+(-4).2=0 ABBCABC vuông tại B.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ, cho A-1;2, B4;5. Tìm tọa độ điểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Lời giải : 

Vì C nằm trên trục hoành nên tọa độ có dạng Cc;0. Khi đó ta có  : AC=1;c-2, BC=-4;c-5AC.BC=01.(-4)+c-2c-5=0c2-7c+6=0c=1 hoặc c=6C1;0 hoặc C6;0.

Kết luận : Khi gặp bài toán chứng minh tính vuông góc, trước hết ta cần phân biệt các dạng toán, nếu dạng toán liên quan đến các đẳng thức lượng giác thì ta nên vận dụng các công thức lượng giác và các hệ thức lượng trong tam giác. Nếu bài toán thuộc dạng hình học thuần túy hay có gắn tọa độ thì sử dụng tích vô hướng để giải quyết.

Chuyên đề

Lăng trụ tam giác đều

Bài viết này nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn khái niệm lăng trụ đều, lăng trụ tam giác đều...và phân biệt được khái niệm các loại lăng trụ thường gặp. Đây là những khái niệm mà đa số các học sinh thường không nắm vững.
10:23 Ngày 07 tháng 5 năm 2020

Hình chóp tứ giác đều, hình chóp đều

Đối với hình học không gian, việc hiểu rõ khái niệm của các hình quen thuộc như hình chóp đều là hết sức cần thiết cho việc giải quyết các bài toán liên quan. Vì vậy bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn khái niệm hình chóp đều và các vấn đề liên quan.
15:37 Ngày 06 tháng 5 năm 2020

Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng toán ''Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối '' là một dạng bài tập thường gặp trong quá trình học tập môn toán và chúng thường có những cách giải đặc biệt mà nhiều học sinh sẽ không nắm bắt được. Bài viết này nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết được một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
02:46 Ngày 06 tháng 5 năm 2020

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Trong chương trình toán phổ thông việc giải bài toán tìm m để bất phương trình, phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước là tương đối khó khăn đối với nhiều học sinh. Vì vậy chuyên đề này sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán "tìm m để bất phương trình vô nghiệm"
20:52 Ngày 03 tháng 5 năm 2020

Cách giải phương trình bậc bốn

Trong chương trình toán phổ thông, sách giáo khoa hay các tài liệu thường chỉ đề cập đến phương trình bậc nhất và bậc hai nên khái niệm và cách giải phương trình bậc bốn trở nên khá xa lạ đối với nhiều học sinh. Chuyên đề này giúp các em hiểu rõ hơn khái niệm và nắm bắt được một số cách giải phương trình bậc bốn thường gặp trong quá trình học tập.
15:52 Ngày 29 tháng 4 năm 2020