Cách chứng minh tam giác vuông.
Tam giác vuông là gì ?
Tam giác vuông là một tam giác có một góc là góc vuông (góc 90 độ). Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông là nền tảng cơ bản của lượng giác học.
Một số cách chứng minh tam giác vuông thường gặp
Cho có
1. Chứng minh tam giác vuông bằng cách chỉ ra tam giác có một góc bằng ![]()
Phương pháp :
- Để chỉ ra tam giác có một góc bằng
ta cần biến đổi giả thiết về các dạng như
từ đó suy ra tam giác
vuông tại
Lưu ý : Các công thức lượng giác hay sử dụng là
- Công thức cộng :
|
|
- Công thức nhân đôi, hạ bậc :
|
- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng:
|
|
- Các hệ thức lượng trong tam giác :
Định lý côsin : | Định lý sin : |
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn thỏa
. Chứng minh rằng
vuông.
Lời giải :
Ta có
Vì tam giác nhọn nên
, do đó
Ví dụ 2. Cho tam giác thỏa
.
Lời giải :
Theo định lý sin ta có : nên
Vậy tam giác vuông tại
Chú ý :
- Nếu
thì
vuông tại
- Nếu
thì
vuông tại
- Nếu
thì
vuông tại
Ví dụ 3. Cho tam giác thỏa mãn
và
Chứng minh tam giác
vuông.
Lời giải :
Theo định lý sin ta có :
Vì nên
,do đó
Vậy tam giác vuông tại
2. Chứng minh tam giác vuông bằng cách sử dụng định lý Pi-ta-go.
Phương pháp : Vận dụng định lý pi-ta-go cho tam giác vuông bằng cách đưa giả thiết bài toán về một trong các trường hợp sau
- Nếu
thì
vuông tại
- Nếu
thì
vuông tại
- Nếu
thì
vuông tại
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. có tính chất gì nếu độ dài ba cạnh lần lượt là
.
Lời giải :
Dễ nhận thấy rằng Do đó tam giác
vuông tại
.
Ví dụ 2. Cho thỏa
, chứng minh rằng
vuông.
Lời giải :
Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có nên
Vậy vuông tại
Ví dụ 3 : Cho thỏa
, chứng minh rằng
vuông.
Lời giải :
Ta có
Vậy vuông tại
3. Chứng minh tam giác vuông dựa vào tích vô hướng của hai vectơ.
Phương pháp :
vuông tại
khi
hay
Như vậy ta có thể đưa bài toán chứng minh một tam giác vuông trở thành bài toán tính cá tích vô hướng. Ta có các trường hợp sau
- Để chứng minh
vuông tại
ta có thể chứng minh
- Để chứng minh
vuông tại
ta có thể chứng minh
- Để chứng minh
vuông tại
ta có thể chứng minh
Chú ý : Các công thức hay sử dụng
(định nghĩa tích vô hướng)
(biểu thức tọa độ của tích vô hướng)
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Cho hình vuông lần lượt là trung điểm
. Gọi
. Chứng minh rằng
vuông.
Phân tích : Dự đoán rằng vuông tại
nên ta có thể chứng minh
dựa vào định nghĩa tích vô hướng.
Lời giải :
Để chứng minh tam giác vuông ta có thể chứng minh
Thật vậy, ta có
Mặt khác :
Vậy vuông tại
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có
. Chứng minh rằng tam giác
vuông.
Phân tích : Dễ thấy rằng đây là dạng toán có gắn tọa độ nên ta chỉ việc áp dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Lời giải :
Ta có
vuông tại
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ, cho . Tìm tọa độ điểm
trên trục hoành sao cho tam giác
vuông tại
Lời giải :
Vì nằm trên trục hoành nên tọa độ có dạng
Khi đó ta có :
Kết luận : Khi gặp bài toán chứng minh tính vuông góc, trước hết ta cần phân biệt các dạng toán, nếu dạng toán liên quan đến các đẳng thức lượng giác thì ta nên vận dụng các công thức lượng giác và các hệ thức lượng trong tam giác. Nếu bài toán thuộc dạng hình học thuần túy hay có gắn tọa độ thì sử dụng tích vô hướng để giải quyết.