Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Trung bình: 5
Đánh giá: 1
Bạn đánh giá: Chưa

Trong thực tế chúng ta thường gặp các vật thể có dạng khối cầu như quả bóng, trái đất...nên việc tính diện tích hay thể tích khối cầu là hết sức cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho chúng ta công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

I. Diện tích mặt cầu :

                                                       

Diện tích mặt cầu có bán kính  r là S=4πr2.

II. Thể tích khối cầu : 

Thể tích khối cầu có bán kính  r là V=43πr3.

Chú ý : Để tính diện tích mặt cầu hay thể tích khối cầu ta chỉ cần tìm bán kính của mặt cầu đó.

III. Phương trình mặt cầu :

Trong không gian với hệ trục Oxyz, phương trình mặt cấu có hai dạng như sau : 

  • Dạng 01 : x-a2+y-b2+z-c2=r2 là mặt cầu có tâm Ia;b;c  và bán kính r.
  • Dạng 02 : x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a2+b2+c2-d>0 là mặt cầu có tâm Ia;b;c và bán kính  r=a2+b2+c2-d.

IV. Một số ví dụ liên quan đến diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

Ví dụ 1. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu có đường kính bằng 4 cm.

Lời giải : 

Mặt cầu có đường kính bằng 4cm nên có bán kính r=2cm. Khi đó : 

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.22=16π cm2.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.23=32π3 cm3.

Ví dụ 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình x-12+y-22+z+12=16Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu có phương trình như trên.

Lời giải : 

Mặt cầu có bán kính  r=16=4. Khi đó : 

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.42=64π cm2.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.43=2563π.

Ví dụ 3. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình x2+y2+z2-2x-4y+6z+5=0. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Lời giải : 

Ta có a=1,b=2,c=-3,d=5 nên mặ cầu có r=a2+b2+c2-d=12+22+32-5=3. Khi đó : 

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.32=36π cm2.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.33=36π.

Ví dụ 4. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu có tâm I1;2;3 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x+2y-2z-5=0.

Lời giải : 

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P nên bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng P hay r=dI,P=1+2.2-2.3-512+22+22=2. Khi đó : 

                                   

  • Diện tích mặt cầu : S=4πr2=4π.22=16π.
  • Thể tích khối cầu : V=43πr3=43π.23=32π3.

Ví dụ 5. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, một mặt phẳng α : 2x-y+2z-4=0 cắt mặt cầu S có tâm I3;-1;3 theo một đường tròn có bán kính R=4. Tính thể tích khối cầu S.

Lời giải : 

Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến (tức là hình chiếu của  I xuống α). Khi đó tam giác IHA vuông tại H nên IA2=IH2+HA2 hay r2=d2+R2.

                                      

Mặt khác : d=IH=dI,α=2.3+1+2.3-422+12+22=3r=d2+R2=32+42=5.

Vậy thể tích khối cầu là V=43πr3=43π.53=500π3.

Chuyên đề

Lăng trụ tam giác đều

10:23 Ngày 07 tháng 5 năm 2020

Hình chóp tứ giác đều, hình chóp đều

Đối với hình học không gian, việc hiểu rõ khái niệm của các hình quen thuộc như hình chóp đều là hết sức cần thiết cho việc giải quyết các bài toán liên quan. Vì vậy bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn khái niệm hình chóp đều và các vấn đề liên quan.
15:37 Ngày 06 tháng 5 năm 2020

Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng toán ''Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối '' là một dạng bài tập thường gặp trong quá trình học tập môn toán và chúng thường có những cách giải đặc biệt mà nhiều học sinh sẽ không nắm bắt được. Bài viết này nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết được một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
02:46 Ngày 06 tháng 5 năm 2020

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Trong chương trình toán phổ thông việc giải bài toán tìm m để bất phương trình, phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước là tương đối khó khăn đối với nhiều học sinh. Vì vậy chuyên đề này sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán "tìm m để bất phương trình vô nghiệm"
20:52 Ngày 03 tháng 5 năm 2020

Cách chứng minh tam giác vuông.

Trong phân môn hình học của chương trình toán THPT ta thường gặp một số dạng toán quen thuộc như chứng minh một tam giác nào đó là vuông ,cân hoặc đều. Chuyên đề này nhằm giải quyết khó khăn cho các em học sinh khi gặp phải bài toán chứng minh một tam giác vuông.
15:52 Ngày 02 tháng 5 năm 2020