Cách giải phương trình bậc bốn

Trung bình: 0
Đánh giá: 0
Bạn đánh giá: Chưa
Trong chương trình toán phổ thông, sách giáo khoa hay các tài liệu thường chỉ đề cập đến phương trình bậc nhất và bậc hai nên khái niệm và cách giải phương trình bậc bốn trở nên khá xa lạ đối với nhiều học sinh. Chuyên đề này giúp các em hiểu rõ hơn khái niệm và nắm bắt được một số cách giải phương trình bậc bốn thường gặp trong quá trình học tập.

I. Định nghĩa phương trình bậc bốn.

Là phương trình có dạng ax4+bx3+cx2+dx+e=0 vi a0    (1)

II. Cách giải một số phương trình bậc bốn đặc biệt.

1. Cách giải phương trình bậc bốn cơ bản : Dạng x4=a.

* Cách giải :

  • Nếu a<0 thì phương trình x4=a vô nghiệm.
  • Nếu a=0 thì phương trình x4=a trở thành x4=0x=0.
  • Nếu a>0 thì phương trình x4=ax=±a4.

Ví dụ 1. Giải phương trình  x4=16.                           

Ta có x4=16x=±164x=±2.

Ví dụ 2. Giải phương trình 2x4-10=0.

Ta có 2x4-10=02x4=10x4=5x=±54.

2. Cách giải phương trình bậc bốn trùng phương : ax4+bx2+c=0 với a0.

* Nhận dạng : Là phương trình bậc bốn chỉ chứa x4  x2 trong phương trình.

* Cách giải : Chú ý rằng x4=x22 nên để giải phương trình này ta chỉ cần đặt x2=t để đưa về phương trình bậc hai quen thuộc at2+bt+c=0, từ đó tìm t và suy ra x.

* Chú ý : Khi giải phương trình này ta thường gặp phương trình dạng x2=a. Khi đó cần lưu ý : 

  • Nếu a=0 thì phương trình x2=ax2=0x=0.
  • Nếu a>0 thì phương trình x2=ax=±a.
  • Nếu a<0 thì phương trình x2=a vô nghiệm (vì vế trái không âm mà vế phải là số âm).

* Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Giải phương trình : x4-5x2+4=0.

Lời giải :

Đặt x2=t, phương trình trở thành t2-5t+4=0t=1 hoặc t=4

  • Với t=1 ta có x2=1x=±1.
  • Với t=4 ta có x2=4x=±2.

Vậy phương trình có tập nghiệm S=-2,-1,1,2.

Ví dụ 2. Giải phương trình : 8-2x2-x4=0.

Lời giải :

Đặt x2=t, phương trình trở thành 8-2t-t2=0t=2 hoặc t=-4.

  • Với t=2 ta có x2=2x=±2.
  • Với t=-4 ta có x2=-4 (vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm : x=±2.

Chú ý : Đối với hai ví dụ trên ta có thể xem chúng là các phương trình bậc hai đối với x2 nên ta có thể giải quyết nhanh gọn như sau 

  • x4-5x2+4=0x2=1 hoặc x2=4x=±1 hoặc x=±2.
  • 8-2x2-x4=0x2=2x2=-4 (vô nghim)x=±2.

Ví dụ 3. Giải phương trình x-14+x2-2x-1=0.

Phân tích : Rõ ràng vĩ dụ này chưa có dạng phương trình trùng phương nhưng cần lưu ý rằng x2-2x=x2-2x+1-1=x-12-1. Như vậy ta có thể chuyển phương trình đã cho về một phương trình trùng phương theo x-1. Từ đó có thể giải tương tự như trên.

Lời giải : 

Ta có x-14+x2-2x-1=0x-14+x2-2x+1-2=0x-14+x-12-2=0.

Đặt x-12=t ta có phương trình : t2+t-2=0t=1t=-2.

  • Với t=1 ta có x-12=1x-1=1x-1=-1x=2x=0.
  • Với t=-2 ta có x-12=-2(vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm x=0,x=2.

3. Cách giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng : Dạng ax4±bx3+cx2±bx+a=0.

* Nhận dạng : Là một phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng qua số hạng có x2.

* Cách giải :

  • Bước 1 : Xét xem x=0 có phải là nghiệm hay không bằng cách thay trực tiếp vào phương trình. Nếu không thỏa mãn thì không phải là nghiệm.
  • Bước 2 : Với x0, do tính chất đối xứng ta thực hiện chia hai vế phương trình cho x2 đưa phương trình về dạng ax2+1x2+bx±1x+c=0.
  • Bước 3 : Đặt t=x±1x và đưa x2+1x2 về theo t. Từ đó giải phương trình theo t.

* Chú ý : Ta luôn có 

  • x+1x2=x2+2x.1x+1x2=x2+1x2+2x2+1x2=x+1x2-2.
  • x-1x2=x2-2x.1x+1x2=x2+1x2-2x2+1x2=x-1x2+2.

* Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Giải phương trình x4+3x3-8x2+3x+1=0.

Phân tích : Rõ ràng các hệ số của phương trình đối xứng nhau qua số hạng có x2 nên ta giải theo phương pháp như trên.

Lời giải : 

+ Trường hợp 1 : Với x=0 phương trình trở thành 1=0 (vô lí). Vậy x=0 không phải là nghiệm của phương trình.

+ Trường hợp 2 : Với x0, chia hai vế của phương trình cho x2 ta có phương trình x4x2+3x3x2-8x2x2+3xx2+1x2=0x2+3x-8+3x+1x2=0x2+1x2+3x+1x-8=0

Đặt x+1x=t  phương trình trở thành : t2-2+3t-8=0t2+3t-10=0t=2t=-5.

  • Với t=2 ta có x+1x=2x2+1=2xx2-2x+1=0x=1.
  • Với t=-5 ta có x+1x=-5x2+5x+1=0x=-5+212x=-5-212.

Vậy phương trình có tập nghiệm S=-5-212,1,-5+212.

Ví dụ 2. Giải phương trình 2x4-x3-4x2+x+2=0.

Lời giải :

+ Trường hợp 1 : Với x=0 không thỏa mãn phương trình đã cho.

+ Trường hợp 2 : Với x0, chia hai vế phương trình cho x2 ta được phương trình 2x2-x-4+1x+2x2=02x2+1x2-x-1x-4=0.

+ Đặt x-1x=t, phương trình trở thành 2t2+2-t-4=02t2-t=0t=2t=0.

  • Với t=2 ta có x-1x=2x2-2x-1=0x=1+2x=1-2.
  • Với t=0 ta có x-1x=0x2-1=0x=1x=-1.

+ Vậy phương trình có nghiệm x-1,1-2,1,1+2.

Lưu ý : Việc xét hai trường hợp như trên là cần thiết vì muốn chia hai vế phương trình cho một số thì số đó phải khác 0.

4. Cách giải phương trình bậc bốn khi đã nhẩm trước ít nhất hai nghiệm.

Khi gặp một phương trình bậc bốn không thuộc các dạng đặc biệt như trên thì ta có thể nhẩm trước hai nghiệm và tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Phương pháp này chỉ áp dụng khi ta đã biết trước hai nghiệm (thường là nghiệm nguyên) của phương trình đó.Cách làm như sau : 

Xét phương trình dạng ax4+bx3+cx2+dx+e=0 vi a0  

Bước 1. Từ phương trình đã cho tính nhẩm hai nghiệm x1,x2(có thể dùng máy tính hỗ trợ).

Bước 2. Thực hiện phép chia ax4+bx3+cx2+dx+e cho x-x1x-x2 (lưu ý rằng đây là phép chia hết).

Bước 3. Đưa phương trình đã cho về dạng x-x1x-x2.hx=0 với hx=mx2+nx+d. Giải phương trình tích này tìm x.

* Lưu ý : Các bước 1, 2 ta có thể thực hiện trên giấy nháp để lấy kết quả sử dụng cho bước 3.

Ví dụ 1: Giải phương trình x4-5x3+5x2+5x-6=0.

+ Nhận thấy rằng phương trình có nghiệm x=1,x=-1.

+ Thực hiện phép chia x4-5x3+5x2+5x-6 cho x-1x+1=x2-1 như sau:
 

+ Từ đây ta có : x4-5x3+5x2+5x-6=x2-1x2-5x+6

+ Như vậy ta sẽ đưa phương trình đã cho về dạng tích A.B=0A=0 hoặc B=0. Vì vậy ta có lời giải bài này như sau 

Lời giải : 

Ta có : undefined

Vậy phương trình có tập nghiệm S=-1,1,2,3.

Ví dụ 2 : Giải phương trình 2x4-x3-9x2+4x+4=0.

+ Nhận thấy phương trình có nghiệm x=1,x=2.

Thực hiện phép chia 2x4-x3-9x2+4x+4 cho x-1x-2=x2-3x+2 như sau
 

Vậy ta có 2x4-x3-9x2+4x+4=x2-3x+22x2+5x+2.

Lời giải :

Ta có 2x4-x3-9x2+4x+4=0x2-3x+22x2+5x+2=0x2-3x+2=02x2+5x+2=0x=1 hoc x=2x=-2 hoc x=-12.

Vậy phương trình có nghiệm x-2,-12,1,2.

Chú ý : Cách làm này có thể áp dụng để giải phương trình bậc ba và đối với phương trình bậc ba ta chỉ cần nhẩm được một nghiệm x=x0 rồi thực hiện phép chia cho x-x0.

5. Cách giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp đồng nhất hệ số.

Đây là phương pháp đặc biệt được áp dụng khi giải phương trình bậc 4 không có nghiệm nguyên và chỉ giải quyết được một số bài toán nhất định bằng cách phân tích một đa thức bậc bốn thành tích của hai tam thức bậc hai với giả định : ax4+bx3+cx2+dx+e=mx2+nx+pqx2+kx+r. Bài toán có giải quyết được hay không phụ thuộc vào việc có tìm được các hệ số m,n,p,q,k,r hay không.

Ví dụ 1 : Giải phương trình x4-5x2+2x+3=0.

+ Nhận xét rằng, trong ví dụ ta sẽ khó nhẩm được nghiệm, do đó ta nghĩ đến phương án cân bằng hệ số như sau : Giả sử x4-5x2+2x+3=ax2+bx+cmx2+nx+p  (*)

+ Ta sẽ đi tìm các số a,b,c,m,n,p thỏa mãn (*). 

*x4-5x2+2x+3=amx4+anx3+apx2+bmx3+bnx2+bpx+cmx2+cnx+cpx4-5x2+2x+3=amx4+an+bmx3+ap+bn+cmx2+bp+cnx+cp

Đồng nhất các hệ số ta có am=1an+bm=0ap+bn+cm=-5bp+cn=2cp=3. Do am=1 nên ta chọn a=m=1 , khi đó hệ trở thành n+b=0p+bn+c=-5bp+cn=2cp=3. Giải hệ này bằng phương pháp thế ta có p=-3,c=-1,b=-1,n=1.

+ Thay các giá trị tìm được vào (*) ta có  x4-5x2+2x+3=x2-x-1x2+x-3 . Tới đây ta có thể giải quyêt dễ dàng bài toán.

+ Lưu ý rằng việc đồng nhất hệ số được thực hiện trên giấy nháp.

Lời giải : 

Ta có x4-5x2+2x+3=0x2-x-1x2+x-3 =0x2-x-1=0x2+x-3=0x=1-52 hoặc x=1+52x=-1-132 hoặc x=-1+132.

Ví dụ 2 : Giải phương trình 3x4+5x3-16x2+7x-5=0

+ Giả sử 3x4+5x3-16x2+7x-5=ax2+bx+cmx2+nx+p  3x4+5x3-16x2+7x-5=amx4+an+bmx3+ap+bn+cmx2+bp+cnx+cp

+ Đồng nhất các hệ số ta có am=3an+bm=5ap+bn+cm=-16bp+cn=7cp=-5. Vì am=3 ta có thể chọn a=1,m=3, khi đó hệ trở thành n+3b=5p+bn+3c=-16bp+cn=7cp=-5. Giải hệ này tìm được b=2,c=-5,n=-1,p=1.

+ Vậy ta có : 3x4+5x3-16x2+7x-5=x2+2x-53x2-x+1  

Lời giải : 

Ta có 3x4+5x3-16x2+7x-5=0x2+2x-53x2-x+1  =0x2+2x-5=03x2-x+1=0x=-1-6 hoặc x=-1+6 nghiệmx=-1-6 hoặc x=-1+6.

Chuyên đề

Lăng trụ tam giác đều

Bài viết này nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn khái niệm lăng trụ đều, lăng trụ tam giác đều...và phân biệt được khái niệm các loại lăng trụ thường gặp. Đây là những khái niệm mà đa số các học sinh thường không nắm vững.
10:23 Ngày 07 tháng 5 năm 2020

Hình chóp tứ giác đều, hình chóp đều

Đối với hình học không gian, việc hiểu rõ khái niệm của các hình quen thuộc như hình chóp đều là hết sức cần thiết cho việc giải quyết các bài toán liên quan. Vì vậy bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn khái niệm hình chóp đều và các vấn đề liên quan.
15:37 Ngày 06 tháng 5 năm 2020

Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng toán ''Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối '' là một dạng bài tập thường gặp trong quá trình học tập môn toán và chúng thường có những cách giải đặc biệt mà nhiều học sinh sẽ không nắm bắt được. Bài viết này nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết được một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
02:46 Ngày 06 tháng 5 năm 2020

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Trong chương trình toán phổ thông việc giải bài toán tìm m để bất phương trình, phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước là tương đối khó khăn đối với nhiều học sinh. Vì vậy chuyên đề này sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán "tìm m để bất phương trình vô nghiệm"
20:52 Ngày 03 tháng 5 năm 2020

Cách chứng minh tam giác vuông.

Trong phân môn hình học của chương trình toán THPT ta thường gặp một số dạng toán quen thuộc như chứng minh một tam giác nào đó là vuông ,cân hoặc đều. Chuyên đề này nhằm giải quyết khó khăn cho các em học sinh khi gặp phải bài toán chứng minh một tam giác vuông.
15:52 Ngày 02 tháng 5 năm 2020