Bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12

a) Tính diện tích hình phẳng : 

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm :$2\sqrt{1-x^2}=2\left(1-x\right)\iff \left\{\begin{array}{l}1-x^2\ge 0, 1-x\ge 0\\ 1-x^2={\left(1-x\right)}^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 1\\ \left(1-x\right)\left(1+x\right)-{\left(1-x\right)}^2=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 1\\ \left(1-x\right)\left[1+x-\left(1-x\right)\right]=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 1\\ \left(1-x\right)2x=0\end{array}\iff x=0 hoặc x=1.\right.$

+) Vậy diện tích hình phẳng $D$ là : $S={\int }_0^1\left|2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right|dx$$=\left|{\int }_0^1\left(2\sqrt{1-x^2}+2x-2\right)dx\right|$$=\left|2{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx+{\overline{)\left(x^2-2x\right)}}_0^1\right|$$=\left|2{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}-1\right|=\left|2A-1\right|.$

+) Tính $A={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx :$ 

• Đặt $x=\sin t, t\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\Rightarrow dx=\cos tdt.$
• Đổi cận : $x=0$ta có $\sin t=0\iff t=0;$ $x=1$ ta có $\sin t=1\Rightarrow t=\frac{\mathrm{\pi }}{2}.$
• Khi đó $A={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sqrt{1-{\sin }^{2}t}\cos tdt={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sqrt{{\cos }^{2}t}\cos tdt$$={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\cos }^{2}tdt$$={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{1+\cos 2t}{2}dt$$={\overline{)\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x\right)}}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}.$

+) Vậy $S=\left|2A-1\right|=\left|\frac{2\mathrm{\pi }}{4}-1\right|=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1.$

b) Thể tích khối tròn xoay : 

$V=\pi {\int }_0^1\left[{\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2-{\left(2\left(1-x\right)\right)}^2\right]dx$$=4\pi {\int }_0^1\left[1-x^2-{\left(1-x\right)}^2\right]dx$$=4\pi {\int }_0^1\left(2x-2x^2\right)dx=8\pi {\overline{)\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)}}_0^1$$=8\pi .\frac{1}{6}=\frac{4\pi }{3}.$