Câu 3 trang 145 SGK Giải tích 12

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :

Định lí 1 :  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x_0-h; x_0+h\right)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $K\backslash \left\{x_0\right\},$ với $h>0.$

+) Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x_0-h; x_0\right)$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x_0; x_0+h\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right).$

+)  Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x_0-h; x_0\right)$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x_0;x_0+h\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right).$

Định lí 2 : Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x_0-h; x_0+h\right),$ với $h>0.$ Khi đó :

+) Nếu $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=0, f^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)>0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

+) Nếu $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=0, f^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)<0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.