Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12

Trung bình: 4,46
Đánh giá: 52
Bạn đánh giá: Chưa

Cho hàm số y=-x4+2mx2-2m+1 (m là tham s)  có đồ thị là (Cm).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành.

c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.


a) Xét y=-x4+2mx2-2m+1y'=-4x3+4mx=-4x(x2-m);  y''=-12x2+4m.

+) Số cực trị của hàm số cũng chính là số nghiệm của phương trình y'=0.

+) Ta có y'=0x=0 hoc x2=m (*)

  • Nếu m0 thì phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0. Do đó phương trình y'=0 có duy nhất một nghiệm x=0 và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm này nên hàm số có một cực trị (đạt cực đại tại x=0)
  • Nếu m>0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0. Do đó phương trình y'=0 có ba nghiệm phân biệt. Hàm số có ba cực trị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox(trục hoành):

+)-x4+2mx2-2m+1=0-(x2-1)(x2+1)+2m(x2-1)=0 (x2-1)(x2+1-2m)=0x2-1=0 hoc x2+1-2m=0

+)Ta thấy rằng phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm x=±1 nên đồ thị (Cm) luôn cắt trục hoành với mọi m.

c) Để đồ thị hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'=0 phải có ba nghiệm phân biệt (theo câu a). Vậy m>0.