Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Trung bình: 4,64
Đánh giá: 36
Bạn đánh giá: Chưa

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x+3x+1.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm PQ.


a) y=x+3x+1

+) Tập xác định: D=\-1

+) Sự biến thiên:

  • Đạo hàm: y'=-2(x+1)2<0,x-1.
  • Tiệm cận: limx-1+y=+,limx-1-y=-x=-1 là tiệm cận đứng. 

                            limx-y=1;limx+y=1y=1 là tiệm cận ngang.

  • Bảng biến thiên:

         

  • Tính đơn điệu: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-;-1),(-1;+).
  • Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+) Đồ thị: Điểm đặc biệt A(-3;0),B(0;3),C(1;2).

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x+3x+1=2x+mx-1x+3=2x2+2x+mx+mx-12x2+(m+1)x+m-3=0

+) =(m+1)2-4.2(m-3)=m2-6m+25=(m-3)2+16>0,m(1)

+) Mặt khác f(-1)=2(-1)2+(m+1)(-1)+m-3=-20  (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra phương trình hoành độ giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1. Do đó đường thẳng y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N..

c) Gọi M(xM;yM),N(xN;yN). Khi đó:xM+xN=-m+12xMxN=m-32

+) MN2=(xM-xN)2+(yM-yN)2 =(xM-xN)2+(2xM+m-2xN-m)2=5(xM-xN)2=5(xM+xN)2-4xMxN=54(m2-6m+25)

MN2=54(m-3)2+1620MN25. Dấu bằng đạt tại m=3.

d) Gọi S(x0;y0). Khi đó tiếp tuyến tại S có dạng :y=f'(x0)(x-x0)+y0y=-2(x0+1)2(x-x0)+x0+3x0+1

+) Tiệm cận đứng là d1:x=-1; tiệm cận ngang d2:y=1.

P(-1;yP)=d1yP=-2(x0+1)2(-1-x0)+x0+3x0+1=x0+5x0+1P(-1;x0+5x0+1)

Q(xQ;1)=d21=-2(x0+1)2(xQ-x0)+x0+5x0+1xQ=2x0+1Q(2x0+1;1)

+) Vậy ta có xP+xQ2=2x0+1-12=x0=xSyP+yQ2=1+x0+5x0+12=x0+3x0+1=y0=ySS là trung điểm của PQ