Bài 7 trang 45+46 SGK Giải tích 12

Trung bình: 4,59
Đánh giá: 100
Bạn đánh giá: Chưa

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x3+3x2+1.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:x3+3x2+1=m2.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).


a) y=x3+3x2+1

+) Tập xác định: D=

+) Sự biến thiên:

  • Đạo hàm y'=3x2+6x=0x=0 hoc x=-2
  • Các giới hạn: limx-y=-;limx+y=+
  • Bảng biến thiên:

           

  • Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-2);(0;+) và nghịch biến trên khoảng (-2;0).
  • Hàm số đạt cực đại tại x=-2,yCĐ=5, đạt cực tiểu tại x=0,yCT=1.

+) Đồ thị: Điểm đặc biệt A(-2;5),B(0;1),C(-3;1),D(1;5)

                                                

b) Xét phương trình x3+3x2+1=m2(1)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y=x3+3x2+1 (C) và y=m2. Dựa vào đồ thị (C) ta có:

  • Nếu m2<1 hoc m2>5 tức là m<2 hoc m>10 thì phương trình có duy nhất một nghiệm.
  • Nếu m2=1 hoc m2=5 tức là m=2 hoc m=10 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
  • Tương tự nếu 2<m<10 thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.

c) Điểm cực đại của hàm số là A(-2;5), điểm cực tiểu là B(0;1). Khi đó AB(2;-4).

Đường thẳng AB đi qua A(-2;5) có vectơ pháp tuyến n(4;2) có phương trình: 4(x+2)+2(y-5)=02x+y-1=0.