Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12

Trung bình: 4,56
Đánh giá: 64
Bạn đánh giá: Chưa

Cho hàm số y=2x2+2mx+m-1 có đồ thị là (Cm),m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ khi đồ thị hàm số khi m=1.

b) Xác định m để hàm số:

                        i) Đồng biến trên (-1;+).

                        ii) Có cực trị trên (-1;+).

c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.


a) Với m=1 ta có y=2x2+2x

+) Tập xác định: D=

+) Sự biến thiên: 

  • y'=4x+2=0x=-12
  • Giới hạn : limx-y=+;limx+y=+
  • Bảng biến thiên: 

         

  • Hàm số nghịch biến trên (-;-12), đồng biến trên (-12;+).
  • Hàm số không có cực đại, đạt cực tiểu tại x=-12,yCT=-12.

+) Đồ thị: 

                                        

b) Xác định m để hàm số 

    i) Đồng biến trên (-1;+): Ta có y'=4x+2m=0x=-m2

  • Bảng biến thiên:

                         

  • Vậy hàm số đồng biến trên (-m2;+) nên để hàm số đồng biến trên (-1;+) ta có (-1;+)(-m2;+) tức là -m2-1m2

      ii) Có cực trị trên (-1;+)

  • Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đạt cực trị tại x=-m2, do đó để hàm số có cực trị trên (-1;+) thì -m2-1;+-1<-m2m<2.

c) Chứng minh (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt: 

  • Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số (Cm) và trục hoành: 2x2+2mx+m-1=0 (*) ta có '=m2-2(m-1)=m2-2m+2=m2-2m+1+1=(m-1)2+1>0
  • Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt tức là (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.