Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trung bình: 4,33
Đánh giá: 3
Bạn đánh giá: Chưa

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng α có phương trình 4x+y+2z+1=0 và mặt phẳng β có phương trình 2x-2y+z+3=0.

a) Chứng minh rằng α cắt β.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của α và β.

c) Tìm M' đối xứng với điểm M4;2;1 qua mặt phẳng α.

d) Tìm điểm N' đối xứng với điểm N0;2;4 qua đường thẳng d.


a) 

+) α có vec tơ pháp tuyến n1=4;1;2.

+) β có vec tơ phap tuyến n2=2;-2;1.

421-221n1, n2 không cùng phương. Vậy hai mặt phẳng α, β cắt nhau.

b) 

+) Giao tuyến d của α và β sẽ vuông góc với giá của hai vec tơ n1, n2, do đó d có một vec tơ chỉ phương là u=n1, n2=5;0;-10=51;0;-2.

+) Mặt khác : M1;1;-3αM1;1;-3βMαβ=d.

+) Vậy d có phương trình tham số là : x=1+1ty=1+0tz=-3-2t hay x=1+t     y=1         z=-3-2t.

c)

+) Gọi  là đường thẳng đi qua M4;2;1 và vuông góc với α. Khi đó  nhận vec tơ pháp tuyến n1=4;1;2 làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình tham số x=4+4t'y=2+t'  z=1+2t'.

+) Gọi H=α thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ x=4+4t'y=2+t'z=1+2t'4x+y+2z+1=044+4t'+2+t'+21+2t'+1=0t'=-1x=0y=1z=-1H0;1;-1.

+) M' đối xứng với M qua α thì H là trung điểm MM'. Khi đó xM'=2xH-xM=2.0-4=-4     yM'=2yH-yM=2.1-2=0        zM'=2zH-zM=2.(-1)-1=-3M'-4;0;-3.

d) 

+) Đường thẳng d: x=1+t     y=1         z=-3-2t. Gọi P là mặt phẳng qua N0;2;4 và vuông góc với d (tức là nhận u'=1;0;-2 làm vec tơ pháp tuyến). Phương trình của mpP :1x-0+0y-2-2z-4=0x-2z+8=0.

+) Gọi K=dP thì tọa độ của K là nghiệm của hệ x=1+ty=1z=-3-2tx-2z+8=01+t-2-3-2t+8=0t=-3x=1-3=-2y=1z=-3-2.-3=3K-2;1;3.

+) N' đối xứng với N qua d nên K là trung điểm NN'. Khi đó : xN'=2xK-xN=2.-2-0=-4     yN'=2yK-yN=2.1-2=0        zN'=2zK-zN=2.3-4=2N'-4;0;2.