Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12

Trung bình: 4,73
Đánh giá: 11
Bạn đánh giá: Chưa

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;2;-1, B7;-2;3 và đường thẳng d có phương trình x=-1+3t  y=2-2t     z=2+2t.    

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm I trên d sao cho AI+BI nhỏ nhất.


a) 

+) Ta có : d có vec tơ chỉ phương u=3;-2;2 và AB=6;-4;4. Suy ra AB=2ud, AB song song hoặc trùng nhau.

+) Mặt khác : A1;2;-1 không thỏa mãn phương trình của d nên Ad. 

Vậy d//AB hay chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) 

+) Do d//AB nên A, B nằm về cùng một phía so với d . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d. Khi đó IA+IB=IA'+IBA'B. Vậy min(IA+IB)=A'B, dấu bằng xãy ra khi II'=A'Bd.

+) Gọi P là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, khi đó P có phương trình : 3x-1-2y-2+2z+1=03x-2y+2z+3=0

+) H=dP nên tọa độ H là nghiệm của hệ : x=-1+3t          y=2-2t             z=2+2t              3x-2y+2z+3=03-1+3t-22-2t+22+2t+3=0t=0H-1;2;2

Do H là trung điểm AA' nên A'-3;2;5A'B=10;-4;-2=25;-2;-1.

Suy ra A'B có phương trình : x=7+5t' y=-2-2t'z=3-t'   

+) Vậy II'=A'Bd nên tọa độ điểm I cần tìm là nghiệm của hệ : -1+3t=7+5t'2-2t=-2-2t'2+2t=3-t'3t-5t'=8-2t+2t'=-42t+t'=1t=1t'=-1I2;0;4