Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Trung bình: 5
Đánh giá: 1
Bạn đánh giá: Chưa

Trong không gian Oxyz cho các điểm A1;0;-1, B3;4;-2, C4;-1;1, D3;0;3.

a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng ABC và tính khoảng cách từ D đến ABC.

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.


a) Ta có thể chứng minh hai đường thẳng AB,CD chéo nhau.

+) Ta có : AB=2;4;-1, CD=-1;1;2AB, CD không cùng phương hay AB,CD cắt hoặc chéo nhau.

+) Mặt khác, AB có phương trình tham số : x=1+2ty=4tz=-1-tCD có phương trình : x=4-t'y=-1+t'z=1+2t'. Khi đó hệ phương trình : 1+2t=4-t'4t=-1+t'-1-t=1+2t'2t+t'=34t-t'=-1-t-2t'=2 vô nghiệm nên AB, CD không có điểm chung.

+) Vậy AB, CD cheo nhau nên bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.

b)

+) Mặt phẳng ABC có hai vec tơ chỉ phương AB=2;4;-1AC=3;-1;2 nên có vec tơ pháp tuyến n=AB,AC=7;-7;-14=71;-1;-2. Vậy ABC có phương trình (đi qua A) : 1x-1-1y-0-2z+1=0x-y-2z-3=0.

+) Khoảng cách từ D tới ABC :dD,ABC=3-0-2.3-312+-12+-22=6.

c) 

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0. Do mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D nên ta có hệ phương trình : 12+02+-12-2a+2c+d=032+42+-22-6a-8b+4c+d=042+-12+12-8a+2b-2c+d=032+02+32-6a-6c+d=02a        -2c-d=2        16a+8b-4c-d=29       28a-2b+2c-d=18       36a        +6c-d=18       4. Từ (1) ta có d=2a-2c-2 thay vào (2),(3),(4) ta có hệ 4a+8b-2c=276a-2b+4c=164a       +8c=16a=3b=2c=12d=3.

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình : x2+y2+z2-6x-4y-z+3=0.

d) 

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện ABCD : V=16AB,AC.AD

+) Ta có :AB,AC=7;-7;-14AD=2;0;4AB,AC.AD=7.2+-7.0+-14.4=-42V=16-42=7.

Lưu ý : Có thể tính theo công thức V=13dD,ABC.SABC.